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Los ángulos.


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Ángulos | Operaciones con ángulos: Igualdad, Suma, Resta, Multiplicación, División
Trazado de la bisectriz



Concepto de ángulo.

   

Se denomina ángulo a la sección del plano que queda comprendida entre dos semirrectas que se originan en un mismo punto, y están colocadas en distintas direcciones.


El punto en que se inician las semirrectas de denomina vértice del ángulo; en tanto que cada una de las semirrectas que lo delimitan, se denominan lados del ángulo.


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Operaciones con ángulos.

Un ángulo es una magnitud; es decir que constituye una entidad con existencia física y espacial, por lo cual es susceptible de ser comparada con sus similares, y de que se realicen con los ángulos las operaciones aritméticas.

La verdadera índole de la magnitud que constituye un ángulo está conformada por el grado de inclinación existente entre sus lados, a partir del vértice.

Esa magnitud se mide con una unidad que se denomina grado, que se representa con el signo °; cuyos submúltiplos son 60 minutos y de éstos, 60 segundos. Los minutos y los segundos, se representan escrituralmente con los signos y ; de modo que la medida de un ángulo asume la forma: 48°15’20”, lo cual se lee 48 grados, quince minutos, veinte segundos.

Convencionalmente, la medida máxima de un ángulo es de 360°; que conceptualmente sería la correspondiente al ángulo determinado por una única semirrecta. De tal manera, el ángulo determinado por dos semirrectas trazadas sobre una misma recta, mide 180°; y cada uno de los 4 ángulos determinados por las perpendiculares que se cruzan, mide 90°.

Entre los instrumentos que se emplean en el estudio de la geometría, se utiliza para la medición de ángulos el que se denomina semicírculo graduado; precisamente porque es una pieza — actualmente construída en material plástico transparente, lo que facilita mucho su uso — con forma de medio círculo, sobre cuya curvatura se trazan las divisiones que corresponden de 0° a 180° y sus subdivisiones. Como este instrumento permite medir un ángulo trazado sobre papel y trasladarlo o trazarlo sobre otro, también suele denominársele transportador.

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Igualdad de ángulos.

   

De acuerdo a lo anterior, la medida de un ángulo está dada por los grados, minutos y segundos que proyecte sobre el semicírculo graduado, colocando el centro o punto medio de su base sobre el vértice, y un lado sobre la base recta del semicírculo graduado; con lo cual el otro lado cruzará la curvatura del instrumento de medida, en el punto que suministre su abertura, sobre la escala graduada.

Por consiguiente, la igualdad de dos o más ángulos, resultará de tener la misma magnitud de apertura entre sus lados; sin que incida en forma alguna la longitud de los segmentos que constituyan sus lados.

La igualdad de dos ángulos puede expresarse por medio de la igualación de sus medidas, en cuanto si el ángulo A,B,C = 30° y el ángulo D,E,F = 30°, podrá escribirse que ABC = DEF.

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Suma de ángulos.

   

La suma de dos o más ángulos puede realizarse ya sea en forma gráfica, o en forma aritmética. En el primer caso, se dibujan los ángulos sumandos uno a continuación del otro, con el mismo vértice; y el resultado de la suma será un nuevo ángulo comprendido entre los lados exteriores del trazado.

Para sumar ángulos en forma aritmética, deben sumarse por un lado los grados, los minutos y los segundos respectivamente; y luego tener en cuenta que como cada 60 segundos forman un minuto, y cada 60 minutos forman un grado, debe hacerse el correspondiente ajuste del resultado:

ABC = 30° 45’ 13” + DEF = 42° 45’ 53”

Suma:
30° + 42° = 72°
45’ + 45’ = 90’
13” + 53” = 66”

Reducción:
66” = 1’, 6”
90+1’ = 1°, 31’
Total: ABF = 72+1=73°, 31’, 6”

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Resta de ángulos.

 
 

La resta — diferencia o sustracción — entre dos o más ángulos también puede realizarse ya sea en forma gráfica, o en forma aritmética. En el primer caso, se dibuja el ángulo minuendo (el mayor) y, dentro de él, el ángulo sustraendo (el menor), igualmente con el mismo vértice; y el resultado de la resta será un nuevo ángulo comprendido entre el lado superior (A-B) y el lado interior del trazado (A-E).

Para restar ángulos en forma aritmética, debe procederse en forma similar a la suma, restando por separado los grados, los minutos y los segundos respectivamente; y luego reducir el resultado como se hiciera en la suma.

Pero como puede ocurrir que los minutos o segundos del sustraendo sean más que los del minuendo, habrá que tomar 60 del nivel superior, reduciendo éste:

ABC = 42° 45’ 13” — DEF = 30° 55’ 53”

Conversión de ABC:
42° 45’ 13”
42° 45’=41°, 105°
105’ 13”=104°, 73°

Resta:
42° – 30° = 12°
104’ – 55’ = 49’
73” – 53” = 20”

Reducción:
No se requiere
Resultado:
ABE = 12°, 49’, 20”

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Multiplicación de ángulos.

La multiplicación respecto de un ángulo, — al igual que la división — puede realizarse respecto de un número natural; pero es una operación que tiene sentido lógico en cuanto el resultado no sea superior a la medida máxima posible para un ángulo, que son 360°.

Como operación por método gráfico, la multiplicación de un ángulo determinado, por un número natural, no se diferencia de la suma; en cuanto se trata de sumar el ángulo a sí mismo, tantas veces como requiere el multiplicador: 2 veces para multiplicarlo por dos, 3 veces para multiplicarlo por 3, y sucesivamente. De la misma manera que para su multiplicación aritmética, es fácil advertir que esa operación gráfica queda limitada hasta que una nueva adición del ángulo a la resultante de las anteriores, determine que quede superpuesto con el primero de ellos.

La multiplicación aritmética de ángulos en la forma indicada — por un número natural, no necesariamente un entero — se realiza en forma similar a las operaciones anteriores; teniendo en cuenta la reducción de la resultante a un número de segundos y minutos no superior a 60, y asimismo que el resultado final no puede superar 360°, 0’, 0”:

ABC = 12° 45’ 13” × 5

Multiplicación:
12° × 5 = 60°
45’ × 5 = 225’
13” – 5 = 65”

Reducción:
225’ = 3°, 45”
65” = 1’, 5”

Resultado: 60°+3°=63°, 45’+1°=46’ Total: 63°, 46’, 5”

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División de ángulos.

Lo expresado para la multiplicación es aplicable en cierta forma a la división aritmética de ángulos. La división de un ángulo en varias partes iguales, correspondientes a un número natural, puede realizarse subdividiéndolo en forma gráfica en la cantidad resultante de ángulos iguales.

La división aritmética de ángulos se realiza por el mismo procedimiento que la multiplicación, procediendo por separado con grados, minutos y segundos; con la particularidad de que para obtener resultados adecuados, deberán dividirse primero los segundos, llevándolos a un valor adecuado a partir de tomar minutos; y del mismo modo con los minutos, tomando grados. Finalmente, habrá de procederse a la reducción de la resultante a un número de segundos y minutos no superior a 60:

ABC = 125° 46’ 0” ÷ 5

Conversión previa:
46’, 0” = 45’, 60”

División:
60” ÷ 5 = 12”
45’ ÷ 5 = 9’
125° ÷ 5 = 25°

Reducción:

No se requiere

Resultado: 25°, 9’, 12”

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Trazado de la bisectriz.

 
 

Se denomina bisectriz de un ángulo, a la línea que partiendo de su vértice, lo divide en dos ángulos iguales: bi-sectriz, dos sectores.

Para trazar en forma gráfica la bisectriz de un ángulo, se traza un arco con el compás haciendo centro en el vértice a una distancia aproximada de la mitad de la longitud de los lados, delimitando así dos segmentos de lado iguales. Luego, con la misma medida de arco en el compás, haciendo centro alternativamente en cada uno de los extremos de los sectores de lado antes marcados, se trazan dos arcos en la zona aproximada de la mitad del ángulo, de forma que se crucen. La bisectriz es la recta que une el vértice con el punto determinado por el cruce de estos dos últimos arcos.

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